EL SISTEMA DE LOS NUMEROS REALES.

ENTRE CONTAR Y MEDIR

El sistema e los reales consiste de un conjunto de elementos denominados números que dan sentido a las operaciones fundamentales conocidas como suma, resta, multiplicación, división, resolución de ecuaciones y procesos algebraicos, entre otras que utilizaras en este y otros cursos. Generalmente, la mayoría de los textos de matemáticas representan los números reales con el símbolo R.
Los números, tal y como los concebimos en la actualidad, son símbolos despojados de cualquier referencia a objetos concretos.

PROPIEDADES DE LOS NUMEROS REALES

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Los numeros reales son los números que se utilizan para la medición de cantidades reales. Incluyen los números racionales, números irracionales, números enteros, decimales, etc. Estas cantidades reales incluyen longitud, velocidad, temperatura ambiente, tasas de crecimiento y muchos más. Los números racionales e irracionales llenan completamente la recta numérica y forman el conjunto de los números reales. En palabras más simples, los números reales se pueden clasificar en números racionales y números irracionales. Estos números racionales se pueden dividir en números enteros y fracciones.

Los números reales mantienen algunas de las propiedades básicas de las Matemáticas que por lo general pueden ser articuladas con respecto de las 2 operaciones elementales de multiplicación y suma.
Estas propiedades incluyen:

Propiedad Conmutativa de la Suma: Establece que el orden en el que dos números reales se suman no afecta a su sumatoria. Esto es:
Ejemplo: 3 + 7 = 7 + 3 = 10.

Propiedad Conmutativa de la Multiplicación: De acuerdo con esta, cuando dos números reales se multiplican en diferentes órdenes, el resultado es siempre el mismo. En términos matemáticos.
Ejemplo: 4 X 3 = 3 X 4 = 12

Propiedad Asociativa de la Suma: Esta propiedad dice que la suma de tres números reales dados, manteniendo su orden, agrupa dos de ellos, y luego se añade el tercer número a la sumatoria del grupo. Matemáticamente.
Ejemplo: (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 9

Propiedad Asociativa de la Multiplicación: El producto de dos números reales se puede calcular de dos formas: De la primera forma, preservando el orden y multiplicando el número del producto del primer y segundo número al tercer número. La segunda forma de hacerlo es preservando el mismo orden y multiplicando el primer número con el producto del segundo y tercer número. El resultado en ambos casos será el mismo. Para ser específicos.
Ejemplo: (2 X 3) X 4 = 2 X (3 X 4) = 24

Propiedad de Identidad de la Suma: “0”es el número neutral, es decir, la identidad para la suma. La suma de cualquier número con 0 dará como resultado el propio número. Expresamente.
Ejemplo: 9 + 0 = 9

Propiedad de Identidad de la Multiplicación: Según esta propiedad de los Números Reales, el producto de cualquier número real con el elemento de identidad ‘1’ es el número real mismo. Es decir.
Ejemplo: 6 X 1 = 6

Inverso aditivo: Para cada Número Real, existe su inverso, de tal manera que la suma del número con su inverso dará como resultado 0, es decir.
Ejemplo: 3 + (−3) = 0

Inverso multiplicativo: De acuerdo con este, para todo Número Real distinto de cero, existe otro número real tal que el producto de los dos es 1. Matemáticamente,
Ejemplo: 3 X 1/3 = 1

Ley distributiva: En los Números Reales, la multiplicación se puede distribuir sobre la suma y viceversa.
Ejemplo: 2 X (3 + 5) = (2 X 3) + (2 X 5) = 16

DESIGUALDAD.

Es una relación de orden que se da entre dos valores cuando éstos son distintos (en caso de ser iguales, lo que se tiene es una igualdad).
Si los valores en cuestión son elementos de un conjunto ordenado, como los enteros o los reales, entonces pueden ser comparados.

La notación a < b significa a es menor que b;
La notación a > b significa a es mayor que b

Estas relaciones se conocen como 'desigualdades estrictas, puesto que a no puede ser igual a b; también puede leerse como "estrictamente menor que" o "estrictamente mayor que".
La notación a ≤ b significa a es menor o igual que b;
La notación a ≥ b significa a es mayor o igual que b;
Estos tipos de desigualdades reciben el nombre de desigualdades amplias (o no estrictas).
La notación a ≪ b significa a es mucho menor que b;
La notación a ≫ b significa a es mucho mayor que b;

Esta relación indica por lo general una diferencia de varios órdenes de magnitud.
La notación a ≠ b significa que ha no es igual a b. Tal expresión no indica si uno es mayor que el otro, o siquiera si son comparables.
Para tener en cuenta:
Generalmente se tienden a confundir los operadores según la posición de los elementos que se están comparando; didácticamente se enseña que la abertura está del lado del elemento mayor. Otra forma de recordar el significado, es recordando que el signo señala/apunta al elemento menor.

PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES

Las desigualdades están gobernadas por las siguientes propiedades. Notar que, para las propiedades transitividad, adición, sustracción, multiplicación y división, la propiedad también se mantiene si los símbolos de desigualdad estricta (< y >) son reemplazados por sus correspondientes símbolos de desigualdad no estricta (≤ y ≥).

TRANSITIVIDAD
▪  Para números reales arbitrarios a, b y c:
▪  Si a > b y b > c entonces a > c.
▪  Si a < b y b < c entonces a < c.
▪  Si a > b y b = c entonces a > c.
▪  Si a < b y b = c entonces a < c.

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN
▪  Para números reales arbitrarios a, b y c:
▪  Si a < b entonces a + c < b + c y a − c < b − c.
▪  Si a > b entonces a + c > b + c y a − c > b − c.

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN
▪  Para números reales arbitrarios a y b, y c diferente de cero:
▪  Si c es positivo y a < b entonces ac < bc y a/c < b/c.
▪  Si c es negativo y a < b entonces ac > bc y a/c > b/c.

OPUESTO

▪  Para números reales arbitrarios a y b:
▪  Si a < b entonces −a > −b.
▪  Si a > b entonces −a < −b.

RECÍPROCO
▪  Para números reales a y b distintos de cero, ambos positivos o negativos a la vez:
▪  Si a < b entonces 1/a > 1/b.
▪  Si a > b entonces 1/a < 1/b.
▪  Si a y b son de distinto signo:
▪  Si a < b entonces 1/a < 1/b.
▪  Si a > b entonces 1/a > 1/b.

CLASIFICACION DE LAS DESIGUALDADES.

Las desigualdades se pueden clasificar de diferentes maneras dependiendo del criterio clasificador que se emplee. Los criterios que se pueden tomar en cuenta son la ubicación de la variable, el número de variables, el grado y la existencia o no de valor absoluto.
Por la ubicación de la variable las desigualdades se clasifican en desigualdades sin variable en el denominador y con variable en el denominador, éstas pueden ser de primer, segundo o mayor grado.
Por el número de variables se clasifican en desigualdades con una o más variables.
Con respecto al valor absoluto las desigualdades pueden ser con o sin valor absoluto, y de igual manera, se pueden clasificar en estrictas, en las que c no puede ser igual a d, o amplias, en las que ambos miembros pueden tener el mismo valor, lineales las cuales pueden ser escritas a través de operaciones y sólo contienen la variable a la primera potencia, cuadráticas, en las que en uno o en ambos miembros aparece un número cuadrático, o racionales en las que aparecen cocientes con variable en el denominador y/o en el numerador.

DEFINICIÓN DE FUNCIÓN:

Una función, en matemáticas, es el término usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades. El término función fue usado por primera vez en 1637 por el matemático francés René Descartes, quien escribió: "Una variable es un símbolo que representa un número dentro de un conjunto de ello.  Dos variables X y Y están asociadas de tal forma que al asignar un valor a X entonces, por alguna regla o correspondencia, se asigna automáticamente un valor a Y.  La variable X, a la que se asignan libremente valores, se llama variable independiente, mientras que la variable Y, cuyos valores dependen de la X, se llama variables dependientes.  Los valores permitidos de X constituyen el dominio de definición de la función y los valores  que toma Y constituye su recorrido".

Para que una relación de un conjunto A en otro B sea función, debe cumplir dos condiciones, a saber:

Todo elemento del conjunto de partida A debe tener imagen.
La imagen de cada elemento x E A debe ser única. Es decir, ningún elemento del dominio puede tener más de una imagen.

El conjunto formado por todos los elementos de B que son imagen de algún elemento del dominio se denomina conjunto imagen o recorrido de f.

DEFINICON DE VARIABLE.

Derivada del término en latín variabilis, variable es una palabra que representa a aquello que varía o que está sujeto a algún tipo de cambio. Se trata de algo que se caracteriza por ser inestable, inconstante y mudable. En otras palabras, una variable es un símbolo que permite identificar a un elemento no especificado dentro de un determinado grupo. Este conjunto suele ser definido como el conjunto universal de la variable (universo de la variable, en otras ocasiones), y cada pieza incluida en él constituye un valor de la variable.

Derivada del término en latín variabilis, variable es una palabra que representa a aquello que varía o que está sujeto a algún tipo de cambio. Se trata de algo que se caracteriza por ser inestable, inconstante y mudable. En otras palabras, una variable es un símbolo que permite identificar a un elemento no especificado dentro de un determinado grupo. Este conjunto suele ser definido como el conjunto universal de la variable (universo de la variable, en otras ocasiones), y cada pieza incluida en él constituye un valor de la variable.
Por ejemplo: x es una variable del universo {1, 3, 5, 7}. Por lo tanto, x puede ser igual a cualquiera de los recién mencionados valores, con lo cual es posible reemplazar a x por cualquier número impar que sea inferior a 8.
Como podrán advertir, las variables son elementos presentes en fórmulas, proposiciones y algoritmos, las cuales pueden ser sustituidas o pueden adquirir sin dejar de pertenecer a un mismo universo, diversos valores. Cabe mencionar que los valores de una variable pueden enmarcarse dentro de un rango o estar limitados por situaciones de pertenencia.

CLASIFICACION DE FUNCIONES.

Funciones algebraicas:

En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación.
Las funciones algebraicas pueden ser:
Funciones explícitas:
En las funciones explícitas se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución.
f(x) = 5x - 2
Funciones implícitas: En las funciones implícitas no se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución, sino que es preciso efectuar operaciones.
5x - y - 2 = 0

FUNCIONES POLINOMIALES

Las funciones polinómicas vienen definidas por un polinomio.
f(x) = a0 + a1 x + a1 x² + a1 x³ +··· + an xn
Su dominio es R , es decir, cualquier número real tiene imagen.
Funciones constantes.
El criterio viene dado por un número real.
f(x)= k
La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas.
Funciones polinómica de primer grado
f(x) = mx +n
Su gráfica es una recta oblicua, que queda definida por dos puntos de la función.
Función afín.
Función lineal.
Función identidad.
Funciones cuadráticas
f(x) = ax² + bx +c
Son funciones polinómicas es de segundo grado, siendo su gráfica una parábola.

FUNCIONES EN TROSOS

Son funciones definidas por distintos criterios, según los intervalos que se consideren.
Funciones en valor absoluto.
Función parte entera de x.
Función mantisa.
Función signo.
Funciones racionales

El criterio viene dado por un cociente entre polinomio:
Función racional
El dominio lo forman todos los números reales excepto los valores de x que anulan el denominador.
Funciones radicales
El criterio viene dado por la variable x bajo el signo radical.
El dominio de una función irracional de índice impar es R.
El dominio de una función irracional de índice par está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero.
Funciones trascendentes.

En las funciones trascendentes la variable independiente figura como exponente, o como índice de la raíz, o se halla afectada del signo logaritmo o de cualquiera de los signos que emplea la trigonometría.
Función exponencial
Función: Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia ax se llama función exponencial de base a y exponente x.
Funciones logarítmicas: La función logarítmica en base a es la función inversa de la exponencial en base a.

funciones trigonométricas: La funciones trigonométricas asocian a cada número real, x, el valor de la razón trigonométrica del ángulo cuya medida en radianes es x.

Función seno
f(x) = sen x
Función coseno
f(x) = cosen x
Función tangente
f(x) = tg x
Función cosecante
f(x) = cosec x
Función secante
f(x) = sec x
Función cotangente
f(x) = cotg x


Referencias.

Desconocido. (02/05/2014). Tipos de Números. 18/06/2017, de Saber es Practico Sitio web: https://www.saberespractico.com/estudios/secundaria-bachiller/matematicas-secundaria-bachiller/tipos-de-numeros-clasificacion/

Desconocido. (Desconocido). Propiedad de lo Números Reales. 18/06/2017, de mitecnologico.com Sitio web: http://mitecnologico.com/igestion/Main/PropiedadesDeLosNumerosReales

Desconocidos. (04/02/2011). Desigualdad Matemática. 18/06/2017, de Wikipedia Sitio web: https://es.wikipedia.org/wiki/Desigualdad_matem%C3%A1tica

Karen Joselin Ortiz Godinez. (05/09/2012). Propiedades de las Desigualdades. 18/06/2017, de Desconocido Sitio web: http://calculokarenjozz.blogspot.mx/2012/09/propiedades-de-las-desigualdades.html

María Belda. (Desconocido). Funciones Matematicas. 18/06/2017, de monografias.com Sitio web: http://www.monografias.com/trabajos57/funciones-matematicas/funciones-matematicas.shtml
Julián Pérez Porto y Ana Gardey.. (2008). Definicon Variable. 18/06/2017, de Definicion.De Sitio web: http://definicion.de/variable/

Imágenes.
http://es.slideshare.net/317/conjuntos

videos:
https://www.youtube.com/watch?v=8zVW0U2jn8U

https://www.youtube.com/watch?v=S2Z5JdL1vC4

https://www.youtube.com/watch?v=fKJ4asQwZhw